十、课程设置

课程 类别		课程编号	课程名称	学 分	学 时	开课学期				开课单位	备注
						1	2	3	4
学 位 课	公共课	G25000001	新时代中国特色社会主义理论与实践研究(Theory and Practice of Socilism with Chinese Characteristics)	2	32	√				马克思主义学院	必修
		G25000005	自然辩证法概论(Introductions of Dialectics Of Nature)	1	16	√
		G25000004	综合英语(General Postgraduate English)	2	32	√				外国语 学院	必修
		G25000007	学术英语写作(Academic English writing)	1	16		√				必修
	基础 理论课	X25070101	泛函分析(Functional Analysis)	3	48	√				数学与统计学院	必选
		X25070102	代数学(Algebra)	3	48	√
	专业主干课	X25070103	学科前沿讲座(Lectures on Fronties)	2	32		√			数学与统计学院	必选
		X25070104	组合数学(Combinatorics)	3	48		√			数学与统计学院	任选2门
		X25070105	计算代数(Computational Algebra)	3	48		√
		X25070106	高等数值分析(Advanced Numerical Analysis)	3	48		√
		X25070107	偏微分方程及其理论(Theory of Partial Differential Equations)	3	48		√
		X25070108	高等微分几何(Advanced Differential Geometry)	3	48		√
		X25070109	Fourier分析(Fourier Analysis)	3	48		√
		X25070110	微分方程数值解及其应用(Numerical Solutions of Differential Equations and Their Applications)	3	48		√
		X25070111	矩阵论(Matrix Theory)	3	48		√
		X25070112	微分方程定性理论(Qualitative Theory of Differential Equations)	3	48		√
		X25070113	非线性泛函分析(Nonlinear Functional Analysis)	3	48		√
		X25070114	随机过程(Stochastic Processes)	3	48		√
		X25070115	高等概率论(Advanced Probability Theory)	3	48		√
非 学 位 课	方向选修课	X25071101	学术论文写作(Academic Writing)	1	16	√				数学与统计学院	必修
		X25071102	符号计算(Symbolic Computation)	2	32		√			数学与统计学院	至少选2门
		X25071103	Grobner基理论及其应用(Gröbner Basis Theory and Applications)	2	32		√
		X25071104	矩阵反问题( Matrix Inverse Problems)	2	32		√
		X25071105	计算流体力学( Computational Fluid Dynamics)	2	32		√
		X25071106	奇异积分算子理论( Singular Integral Operators Theory)	2	32		√
		X25071107	凸几何( Convex Geometry)	2	32		√
		X25071108	临界点理论(Critical Point Theory)	2	32		√
		X25071109	线性算子谱理论(Spectral Theory of Linear Operators)	2	32		√
		X25071110	现代对策论(Modern Game Theory)	2	32		√
		X25071111	鞅论( Martingale Theory)	2	32		√
		X25071112	高级密码学(Advanced Cryptography)	2	32		√
		X25071113	数字信号处理(Digital Signal Processing)	2	32		√
		X25071114	神经网络及其应用(Neural Networks and Their Applications)	2	32		√
		X25071115	渐近分析(Asymptotic Analysis)	2	32		√
		X25071116	Banach代数(Banach Algebras)	2	32		√
		X25071117	半群理论(Semigroup Theory)	2	32		√
		X25071118	图论及其应用(Graph Theory and Applications)	2	32		√
		X25071119	最优化理论与计算方法(Optimization Theory and Computational Methods)	2	32		√
		X25071120	混沌动力学及算法(Chaotic Dynamics and Algorithms)	2	32		√
		X25071121	反问题的数值解法( Numerical Methods for Inverse Problems)	2	32		√
		X25071122	数学课程与教材研究(Studies in Mathematics Curriculum and Teaching Materials)	2	32		√
修补 课程			数学物理方程	/	32		√			数学与统计学院	跨学科或同等学力学生补修
			复变函数与积分变换	/	32		√
			实变函数与泛函分析	/	32		√
学位 论文		G25000020	学位论文开题	2	第3学期进行
		G25000021	论文中期检查（研究生作进展报告）	2	第5学期进行
		G25000022	预答辩	2	第6学期进行
实践 环节		G25000024	实践活动	1	第五学期前完成 教学实践必选 学科竞赛活动或课外学术
学术 活动		学术活动的主要形式包括学术报告、专家讲座，参加学术会议、参加学校或省级研究生论坛报告会、研讨等			须参加学术活动10次以上，其中本人主讲报告至少1次

附1:需阅读的主要经典著作和专业学术期刊目录

1．An Introduction to Dynamical Systems, R.Clark Robinson，机械工业出版社，2005
2. Grobner 基理论及其应用，刘木兰，科学出版社，2000
3. Real and Complex Analysis，Walter Ludin, 机械工业出版社，2004

4. 近世代数，韩士安、林磊，科学出版社，2004

5. 泛函分析讲义，张恭庆 林源渠，北京大学出版社，2005
6. 基础拓扑学讲义，尤承业，北京大学出版社，2002

7. 交换代数与同调代数，李克正译, 科学出版社，2002
8. Finite Field for computer scientists and Engineers，R.J.McEliece, 世界图书出版公司，2002

9. Matrix Analysis，Roger A.Horn,Charles R.Johnson, 机械工业出版社，2005

10. 图论及其应用，J.A.Bondy and U.S.R.Murty, 科学出版, 1984

11．数学学报，科学出版社

12．应用数学学报，应用数学所

13．计算数学学报，计算数学所

14．反应扩散方程引论，叶其孝，李正元，科学出版社，2004

15．Linear Algebra and its Applications，Elsevier

16．Numerical Linear Algebra with Applications，Elsevier

17．Matrix Iterative Analysis, Richard S.Varga，科学出版社

18．Numerical Mathematics，Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausco Saleri，科学出版社

19．代数特征值反问题，周树荃，戴华，河南科学技术出版社

20．科学通报，中国科学杂志社

21．中国科学，科学出版社

22．数学年刊，上海科学文献出版社

23．系统科学与数学，系统所

24．Acta Mathematica，Insti. Mittag-leffer

25．Journal Of Mathematical Analysis And Applications, Elsevier

26．Journal of Nonlinear Science, Springer

附2:学位课程教学大纲

新时代中国特色社会主义理论与实践研究

Theory And Practice Of Socialism With Chinese Characteristics

课程编号：G25000001

一、计划总学时：32（其中实验 0 学时） 学分： 2 开课学期： Ⅰ

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（开卷）

二、适用专业：硕士研究生

三、预修课程：

四、教学目的：

《新时代中国特色社会主义理论与实践研究》是硕士研究生思想政治课的必修课程。学习本课程的目的是深化对中国特色社会主义重大理论与实践问题的认识、掌握中国特色社会主义理论体系的主要内容，特别是学习习近平新时代中国特色社会主义思想的丰富内涵和精神实质，提高运用这一理论认识和把握当代中国，分析和解决实际问题的能力和本领。

五、教学内容：

中国特色社会主义的开创和发展；习近平新时代中国特色社会主义思想；中国特色社会主义进入新时代；新时代中国共产党的历史使命；中国特色社会主义经济建设；中国特色社会主义政治建设；中国特色社会主义文化建设；中国特色社会主义社会建设；中国特色社会主义生态文明建设；坚持和平发展道路与构建人类命运共同体；坚持和加强党的全面领导。

六、教材及主要参考书：

1.恩格斯《社会主义从空想到科学的发展》

2.马克思、恩格斯《共产党宣言》

3.《习近平谈治国理政》（第一卷、第二卷）

自然辩证法概论

Introductions Of Dialectics Of Nature

课程编号：G25000005

一、计划总学时： 16 （其中实验 0 学时） 学分： 1 开课学期： Ⅰ

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（开卷）

二、适用专业：理工类硕士研究生

三、预修课程：

四、教学目的：

《自然辩证法概论》是一门理工类硕士生马克思主义理论公共学位课。自然辩证法课程的教学必须努力站在时代的前沿，与时俱进,反映时代发展的规律和趋势，从而在研究生的世界观、人生观教育上，更好地发挥政治理论教育功能；在研究生的科学素质教育上，弘扬科学精神、传播科学思想、倡导科学方法，更好地体现本课程的思想性和科学性的统一。通过教学让学生把握马克思主义关于科学技术的基本原理、基本观点和基本方法；扩大学生的视野；启迪学生的思维，注重培养创新精神和创新能力，培养提高学生的理论思维水平。

五、教学内容：

马克思主义自然观；马克思主义科学技术观；马克思主义科学技术方法论；马克思主义科学技术社会论；中国马克思主义科学技术观与创新型国家。

六、教材及主要参考书：

1.恩格斯：《自然辩证法》

2.恩格斯：《反杜林论》（哲学篇）

3.列宁：《唯物主义与经验主义批判》

4.教育部社会科学研究与思想政治工作司组编：《自然辩证法概论》

5.全国工程硕士政治理论课教材编写组《自然辩证法》清华大学出版社，2008.

综合英语

General Postgraduate English

课程编号：G25000004

一、计划总学时： 32 （其中实验 学时） 学分： 2 开课学期： I

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：非英语专业的学术学位及专业学位硕士研究生

三、预修课程：大学英语

四、教学目的：

本课程是以英语语言知识与应用技能、学习策略和跨文化交际为主要内容，以外语教学理论为指导，集多种教学模式和教学手段为一体的教学体系。其目标是进一步提高综合运用英语的能力，使学生具有较熟练的阅读能力，一定的写、译能力和基本的听说能力，能够以英语为工具进行本专业的学习、研究和国际交流，为学生今后的英语高级课程和专业英语的学习、论文写作及未来职业、事业发展服务。

五、教学内容：

1.Human Reflections：人类的婚姻与情感的实质与定位

2.Silent Language：跨文化交流的身体语言悖论

3.Life Experience：独处的价值与美德

4. Career：择业和职业设计应该从娃娃抓起

5.Friendship：中年交友的困惑与释然

六、教材及主要参考书：

1.王同顺主编：《新发展研究生英英语综合教程》，上海交通大学出版社, 2010.

2.王同顺主编：《多维教程·探索》， 高等教育出版社，1999．

3.曾道明、陆效用主编：《研究生综合英语》，复旦大学出版社，2004．

4.王玉雯等主编：《新世纪研究生英语教程：综合英语》，北京理工大学出版社，2006．

学术英语写作

Academic English writing

课程编号：G25000007

一、计划总学时： 16 （其中实践 4 学时） 学分： 1 开课学期： II

授课方式：理论讲解与实践 考核方式：论文报告

二、适用专业：非英语专业的学术学位硕士研究生

三、预修课程：大学英语

四、教学目的：

主要采用讲授与实践相结合的教学方法，要求学生能阅读英文论文/专著；对全文、章节、段落、句子能进行总结、阐释、翻译，并以直接或间接引用方式服务于自己的研究；能独立写作或翻译论文摘要，最终能够撰写中英文论文。能够有计划地实现就某一研究领域的话题开展的学术交流活动。

五、教学内容：

分为学术论文写作和学术交流两部分，第一部分为学术论文的阅读理解， 翻译和写作，主要采取课堂讲授的形式，详细介绍学术论文的写作格式、写作要求、主要组成部分，以及如何查阅相关文献和进行文献检索。同时，让研究生学会如何设计实验方案，展示研究结果，撰写高质量的学术论文、文献和开题报告，全面提高学生的实际动手能力和创新能力。第二部分为学术交流，主要采取课程实践的形式，以学术交流为主线，以任务式教学为主导，详细介绍国际学术交流活动的操作惯例和相关规则，旨在培养学生的跨文化交际意识和从事学术交流的能力。

实践活动（4 学时）：

1.实践国际学术会议上会议发言、提问、讨论；

2.撰写个人简历英文版。

六、教材及主要参考书：

1.邓晓宇、俞惠，《国际学术交流英语》，上海交通大学出版社，2015.

2.王慧莉、刘文宇，《国际学术交流英语》，大连理工大学出版社，2011.

泛函分析

Functional Analysis

课程编号：X25070101

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期：Ⅰ

授课方式：课堂教学 考核方式：考试，（闭卷）；

二、适用专业：数学

三、预修课程：数学分析

四、教学目的：

使学生深刻理解距离空间、赋范线性空间与内积空间、有界线性算子等基本概念及泛函延拓定理、开映照定理、闭图象定理、共鸣定理等基本定理。熟练掌握其基本理论和方法，领会其基本思想，为学习其他数学分支及今后的研究打下坚实的基础。

五、教学内容：

主要介绍线形泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识压缩映象原理等。

1.距离空间： 距离空间基本概念，距离空间点集，完备距离空间，压缩映像原理，距离空间的紧性。

2.赋范线性空间：赋范线性空间基本概念，空间，赋范线性空间性质，有穷维赋范线性空间

3.有界线性算子：有界线性算子与线性泛函，Banach-Steinhaus定理，开映像定理，闭图像定理，Hahn-Banach定理，某些赋范线性空间线性泛函形式，自反性与弱收敛和紧算子。

4.Hilbert空间：内积空间基本概念，正交性与系，Riesz表示定理， Hilbert空间的共轭空间。

5.Banach代数：Banach代数定义，正则点与谱，极大理想与商代数，交换Banach代数的基本定理。

六、教材及主要参考书：

教材：刘炳初编著，泛函分析，科学出版社，2007.

参考书：1．张恭庆等编著，泛函分析讲义，北京大学出版社，1999.

2．Kosaku Yosida, Functional Analysis, Spring-Verlag, New-York, 1999.

代数学

Algebra

课程编号：X25070102

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： I

授课方式：课堂教学 考核方式：闭卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：高等代数

四、教学目的

通过本课程的教学，使学生系统地掌握群、环和域的基本概念、基本理论和基本性质，并注重培养和提高学生的抽象思维能力。

通过本课程的学习，使学生掌握群、环和域的基本概念和基本理论，并且使学生体会现代数学思想、语言及方法，从而培养他们的抽象思维和逻辑思维能力。

五、教学内容：

1.基本概念:集合、映射、代数运算、结合律、交换律、分配律、一一映射及变换、同态、同构及自同构、等价关系与集合的分类。

2.群论：群的定义、单位元、逆元、消去律、有限群的另一定义、群的同态、变换群、置换群、循环群、子群、子群的陪集、不变子群及商群、同态与不变子群。

3.环与域：加群、环的定义、交换律、单位元、零因子及整环、除环及域、无零因子环的特征、子环及环的同态、多项式环、理想、剩余类环及同态与理想、最大理想、商域。

4.整环里的因子分解：素元及唯一分解、唯一分解环、主理想环、欧氏环、多项式的因式分解、因式分解与多项式的根。

六、教材及主要参考书：

1.刘绍学，近世代数基础，高等教育出版社，1999.

2.杨子胥，近世代数，高等教育出版社.

3.张禾瑞，近世代数基础，高等教育出版社.

4.杨子胥、宋宝和，近世代数习题解，山东科学技术出版社.

学科前沿讲座

Lectures on Fronties

课程编号：X25070103

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期：III

授课方式：参加学术报告、研讨 考核方式：论文报告

二、适用专业：数学

三、预修课程：数学分析、高等代数、泛函分析、数值分析、常微分方程、偏微分方程

四、教学目的：

让学生系统地了解数学专业的主要研究方向（包括但不限于代数与符号计算、数值计算、图论与组合、微分方程及其应用、随机分析及其应用），汲取本学科各研究方向的最新研究成果，知晓本学科各研究方向的最新研究方法，从而开拓学术视野，培育创新精神，启发科研思路，提高学生的科研能力。

五、教学内容：

1.代数与符号计算

环的结构、多项式环、幂级数环、同调维数、模糊半群、多元多项式矩阵及其分解，运用Grobner基的理论与方法研究计算机代数、信号处理、信息安全、多维系统等领域的相关问题，运用模糊函数刻画半群及双边理想的结构等。

2.数值计算

约束矩阵方程的理论、算法及其应用；矩阵逆特征值问题；Clifford代数矩阵及其应用问题。现代物理力学等和工程技术中大量的问题都归结为微分方程，而微分方程尤其是偏微分方程的解一般都是用数值方法求得的。常微分方程、偏微分方程的各种数值计算方法和理论。

3.图论与组合

图谱理论、复杂网络理论、图的嵌入理论、指数理论等。数论、代数、拓扑、数理统计，还与计算机科学、信息科学、网络通讯、动力系统、复杂经济模型中的图论与组合问题。

4.微分方程及其应用

物理学、力学、化学、生物学、医学、工程学和统计学等学科中的偏微分方程。非线性分析理论、微分方程定性理论、动力系统理论、Morse指标理论等工具研究和刻画含时滞或脉冲影响的微分方程的周期运动、拟周期运动、概周期运动和混沌运动的有关性态。

5.随机分析及其应用

Malliavin分析，SDE，SPDE数值解及其在金融数学，保险精算中的应用，包括高斯过程非线性泛函的极限理论及其统计推断、随机（偏）微分方程的数值解、随机控制及其在保险精算理论中的应用、分数布朗运动及其在金融时间序列分析中的应用、渐近分析在概率极限理论中的应用。

六、教材及主要参考书：

本课程为前沿讲座，讲授内容随着本学科各研究方向的发展动态而不断调整，无固定教材，参考书主要为本学科国内外高水平期刊。

组合数学

Combinatorics

课程编号：X25070104

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂讲授 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：高等代数、数学分析

四、教学目的：

介绍组合数学中设计组合计数和组合设计的基本原理、基本问题和基本方法。

五、教学内容：

鸽巢原理与Ramsey定理、生成排列和组合、母函数及其运算、正整数的分拆、Stirling数、容斥原理及应用、Mobius反演公式及应用、Polya计数定理、正交拉丁方、平衡不完全区组设计、对称设计等

六、教材及主要参考书：

1. 邵嘉裕，组合数学，同济大学出版社，1991.

2. R. A. Brualdi, Introductory Combinatorics, Prentice Hall, Inc. 1999.

3. Stanley, Enumerative Combinatorics, Combridge University Press, 1997.

计算代数

Computational Algebra

课程编号：X25070105

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学 考核方式：闭卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：抽象代数

四、教学目的：

通过本课程的学习，使学生掌握计算代数的基本知识，以及Groebner基的基本理论方向的一些研究动态，并应用Groebner基理解研究理想的成员问题与仿射簇等问题。

五、教学内容：

1. Groebner基：序关系、单项式序、多项式的约化、单项式理想、Hilbert基定理和Groebner 基、Groebner基算法及改进算法。

2. Groebner基理论的初步应用：仿射簇、消元理想、隐参量问题、扩张定理、理想的运算。

3. 零点定理：Hilbert零点定理、根理想、Zariski闭包和理想的商、不可约簇和素理想、仿射簇的分解、多项式映射、仿射簇的坐标环。

4. 维数理论：理想的维数、零维素理想、素理想的高度与深度、Hilbert函数、强维数、仿射簇的维数。

六、教材及主要参考书：

1.T.Becker, V. Weispfenning, Groebner Bases, Springer Verlag, 1993.

2.D. Cox, J. Little, D.O’Shea, Ideals,Varicties and Algorithms, Springer, Undergraduate Texts in Mathematics, 1992.

3.B. Mishra, Algorithmic Algebra, Springer, 1993.

高等数值分析

Advanced Numerical Analysis

课程编号：X25070103

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：数学分析、高等代数、数值分析、常微分方程、偏微分方程

四、教学目的：

开设本课程的目的是使学生掌握现代科学计算的基本理论和基本方法，了解现代数值逼近、常微分方程数值解以及偏微分方程数值解等的基础知识、常用算法、实现技巧及其理论分析，并能用MATLAB编程实现，为其它课程的学习或工作打下坚实的理论基础。

五、教学内容：

第一部分 散乱数据插值

1. 多元散乱数据拟合与多项式插值;2. 局部方法;3. 整体方法;4. 径向基函数插值的收敛性;5. 其他散乱数据插值方法;6. 散乱数据插值在微分方程数值解中的应用

第二部分 常微分方程初值问题的数值解法

1. Euler法与Gronwall不等式;2. 线性多步法;3. 相容性、稳定性与误差分析;4. 单步法与Runge-Kutta法;5. 绝对稳定性和绝对稳定域6. 一阶方程组与刚性问题

第三部分 偏微分方程的数值解法

1. 椭圆型方程的有限差分法;2. 抛物型方程的有限差分法;3. 双曲型的有限差分法;4. 有限元方法基础

六、教材及主要参考书：

1.袁兆鼎, 费景高, 刘德贵, 刚性常微分方程初值问题的数值解法，科学出版社，1987.

2.李寿佛, 刚性微分方程算法理论, 湖南科学技术出版社，1997.

3.李荣华, 刘播, 微分方程数值解法, 高等教育出版社, 2009.

偏微分方程理论

Theory of Partial Differential Equations

课程编号：X25070104

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：闭卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：泛函分析、非线性分析

四、教学目的：

本课程主要向学生介绍偏微分方程的基本理论和方法。通过本课程的学习使学生了解偏微分方程的来源、掌握偏微分方程的基本知识和方法，并且能使用偏微分方程理论知识和方法解决实际科学问题和工程问题。

五、教学内容：

1. 二阶线性椭圆型方程的古典解：全空间的Laplace方程、Green公式和位势、一般形式二阶线性椭圆型方程、能量方法。

2. 二阶线性抛物型方程的古典解：基本解与初值问题、热方程的平均值公式、初边值问题的极值原理、初边值问题的最大模估计与解的唯一性、初边值问题的能量模估计与解的唯一性。

3. 二阶线性双曲型方程的古典解：初值问题的求解、初值问题的能量不等式、解的适定性、混合问题的能量量模估计、解的适定性。

4. 一阶偏微分方程：一阶线性偏微分方程、运输方程、 一阶线性双曲型方程组、一阶拟线性偏微分方程。

5. 二阶线性椭圆型方程的弱解：弱解的定义、解的正则性、De Giorgi迭代和Moser迭代、估计理论。

6. 二阶线性抛物型方程的弱解：能量不等式和弱解的唯一性、弱解的存在性、弱解的正则性、估计理论。

7.二阶线性双曲型方程的弱解：弱解的定义、弱解的存在性和唯一性、弱解的正则性。

六、教材及主要参考书：

1.王明新著，偏微分方程基本理论，科学出版社，北京，2009.

2.陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，北京，1997.

3.叶其孝，李正元，反应扩散方程引论，科学出版社，北京，1998.

高等微分几何

Advanced Differential Geometry

课程编号：X25070108

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： Ⅱ

授课方式： 课堂教学与研讨 考核方式：开卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：泛函分析

四、教学目的：

本课程主要向学生介绍三维欧氏空间中空间曲线和曲面的形状及其几何性质，通过分析的方法研究决定曲线和曲面的形状的几何量，寻找相关的不变量系统。通过本课程的学习，使学生掌握微分几何的基本知识、主要内容和研究思想，培养学生的空间想象能力和几何直觉能力，为进一步学习几何分析等相关几何学后继课程打下扎实的基础，培养学生运用微积分和微分方程等方法和知识来分析和解决几何问题与实际问题的能力。

五、教学内容：

1．曲线论：向量函数、曲线的概念、空间曲线、曲线论的基本定理。

2. 曲面论：曲面的概念、曲面的第一和第二基本形式、直纹面和可展曲面、曲面论的基本定理、测地线、常高斯曲率的曲面。

3. 外微分形式和活动标架：外微分形式、活动标架、用活动标架研究曲面。

4. 整体微分几何初步：平面曲线的整体性质、空间曲线的整体性质、曲面的整体性质、完备曲面的比较定理。

六、教材及主要参考书：

1．梅向明 黄敬之著, 微分几何, 高等教育出版社, 2019年, 北京.

Fourier分析

Fourier Analysis

课程编号：X25070109

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： Ⅱ

授课方式： 课堂教学与研讨 考核方式：开卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：实变函数、泛函分析

四、教学目的：

本课程是关于函数、算子、空间等数学对象的分解及表示的一门数学分支，其核心是对Fourier变换及其各种推广的研究。例如抽象调和分析通过拓扑群上适当定义的Fourier变换来研究群的性质，在数论、群论等领域中有许多应用。本课程侧重于欧式空间上的Fourier分析的实变方法，及其在偏微分方程中的应用，是为调和分析、方程、几何等方向的研究生开设的一门学位基础课，也可作为其它方向研究生的一门选修课。本课程旨在通过一般理论与具体研究实例的有效结合，使学生能清晰地理解调和分析这一非常强有力的研究偏微分方程等的工具的基本思想，熟练掌握若干重要结论及技巧,提高他们的研究创新能力。

五、教学内容：

1．Fourier积分基础知识：算子有界性、卷积、Rn上的Fourier分析。

2. Hardy-Littlewood极大函数及其应用：Hardy-Littlewood极大函数的定义及其基本性质、覆盖方法及其应用、Lebesgue微分定理、恒等逼近。

3. 、Lebesgue空间的算子内插定理：M.Riesz-Thorin 内插定理、Marcinkiewicz内插定理、Stein-Weiss 限制性内插定理。

4.Calderón-Zygmund分解理论：Calderón-Zygmund(C-Z)分解、Benedek-Caderón-Panzone原理。

六、教材及主要参考书：

1．周民强著, 调和分析讲义, 北京大学出版社, 2003年, 北京.

2. 丁勇著, 现代分析基础, 北京师范大学出版社, 2008年, 北京.

微分方程数值解及其应用

Numerical Solutions of Differential Equations and Their Applications

课程编号：X25070110

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： Ⅱ

授课方式： 课堂教学与研讨 考核方式：开卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：数学分析、高等代数、数学物理方程、数值分析、泛函分析

四、教学目的：

科学与工程中的很多模型问题无法求得真解，需要找到其近似解，这就需要用到本门课程需要介绍的方法。本课程通过选取几类典型类型的偏微分方程，使学生了解并熟练地掌握这几类典型偏微分方程的有限元方法、有限差分方法的相关数学理论，为进一步深入学习或从事教学科研工作打下良好的基础。使研究生在掌握一定科学知识的基础上，培养学生将数学理论与编程相结合的能力。

五、教学内容：

1．椭圆型偏微分方程数值方法：椭圆型偏微分方程数学模型；椭圆型偏微分方程的有限差分方法、有限元方法等相关数学理论、编程计算所需要的线性代数系统。

2. 抛物型偏微分方程数值方法：热传导问题模型；该模型有限差分方法、有限元方法等相关数学理论和编程计算。

3. 双曲型偏微分方程数值方法：双曲型偏微分方程的数学模型；该模型的有限元方法和有限差分方法的数学理论及编程计算所需要的代数系统。

4.电磁场问题的数值方法：电磁场问题的数学模型；该类模型防范成的有限元有限元方法的数学理论和相关编程计算；该类模型问题的有限差分方法的数学理论与相关编程计算所需要的代数系统。

六、教材及主要参考书：

1．杜其奎，陈金如，有限元方法的数学理论，科学出版社，2012年，北京

2. 石中慈，王鸣，有限元方法，科学出版社，2010年，北京

3. 葛德彪，闫玉波，电磁波时域有限差分方法，西安电子科技大学出版社，2005年

矩阵论

Matrix Theory

课程编号：X25070111

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学 考核方式：考试（闭）

二、适用专业：数学

三、预修课程：高等代数

四、教学目的：

通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算。全面了解若干特殊矩阵及其基本性质。了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。

五、教学内容：

1.线性空间与线性变换：线性空间、线性变换及其矩阵、两个特殊的线性空间。

2.范数理论及其应用：向量范数及其性质、矩阵的范数、范数的应用。

3.矩阵分析及其应用：矩阵序列、矩阵级数、矩阵函数、矩阵的微分和积分、矩阵函数的一些应用。

4.矩阵分解：Gauss消去法与矩阵的三角分解、矩阵的QR分解、矩阵的满秩分解、矩阵的奇异值分解。

5.特征值的估计及对称矩阵的极性：特征值的估计、广义特征值问题、对称矩阵特征值的极性、矩阵的直积及其应用。

6.广义逆矩阵：投影矩阵、广义逆矩阵的存在、性质及构造方法、广义逆矩阵的计算方法、广义逆矩阵与线性方程组的求解。

7.若干特殊矩阵:正定矩阵与正稳定矩阵、对角占优矩阵、非负矩阵、M矩阵与广义M矩阵。

六、教材及主要参考书：

1.程云鹏主编：矩阵论，西北工业大学出版社（第二版），2005.

2.张贤达著：矩阵分析与应用，清华大学出版社.

3.刘慧编：矩阵论及其应用，化学工业出版社（第1版），2003.

4.史荣昌：矩阵分析，北京理工大学出版社（第1版），1996.

微分方程定性理论

Qualitative Theory of Differential Equations

课程编号：X25070112

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试，（闭卷）；

二、适用专业：数学

三、预修课程：无

四、教学目的：

使学生掌握解存在唯一性与解延拓等基本定理、稳定性概念与判别法、平面奇点分类与判别及稳定流形定理、拓扑等价与Hartman-Grobman定理、中心流形定理等重要定理。了解动力系统、机械环、无穷远奇点、分支理论等基本知识。为今后从事这方面研究打下基础。

五、教学内容：

1.本课程为常微分方程方向专业基础课，也可为数学专业其他方向选修课，重点介绍稳定性理论定理，奇点理论，极限环与分支理论。

2.基本定理：解的存在惟一性定理，解的延拓，解对初值的连续依赖性与可微性，比较原来。

3.动力系统的基本知识：自治系统与非自治系统，轨线的极限集合，平面上的极限集。

4.稳定性理论：稳定性的定义和例子，自治系统零解的稳定性，非自治系统的稳定性，全局稳定性，线性系统及其扰动系统的稳定性，Liapunov泛函的构造，稳定性中的比较法。

5.平面系统的奇点：初等奇点，中心与焦点的判定。

6.极限环：基本概念与极限环的不存在性，极限环的存在性，后继函数与极限环的稳定性。

7.无穷远奇点：无穷远奇点概念。

8.高维系统奇点分析：线性系统的奇点，稳定流形定理，拓扑等价与Hartman-Grobman定理，中心流形定理，临界情况性奇点的稳定性分析。

9.分支理论：奇点分支，Hopf分支,周期系统的分支。

六、教材及主要参考书：

教材 ：马知恩，周义仓编著，常微分方程定性与稳定性方法，科学出版社，北京，2001.

参考书：

1.丁同仁编著，常微分方程定性方法的应用，高等教育出版社，北京，2004.

2.张芷芬、丁同仁等著，微分方程定性理论，科学出版社，北京，1997.

3.Arnol’d, Ordinary Differential Equations, Spring-Verlag, New-York,1992.

非线性泛函分析

Nonlinear Functional Analysis

课程编号：X25070113

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：闭卷

二、适用专业：数学

三、预修课程：泛函分析

四、教学目的：

本课程主要向学生介绍非线性泛函分析的基本理论和方法、以及非线性泛函分析在微分方程中的应用。通过本课程的学习使学生了解非线性泛函分析的发展历史、掌握非线性泛函分析的基本知识，并且能使用非线性泛函分析知识解决与微分方程有关的实际问题和工程问题。

五、教学内容：

1.非线性算子：连续性和有界性、全连续性、Frechet微分与Gateaux微分、隐函数定理。

2.拓扑度理论：Brouwer度、Leray-Schauder度、不动点理论、固有值、固有元与歧点、严格集压缩场和凝聚场的拓扑度、A-proper映射的广义拓扑度。

3.非线性算子方程的正解：锥和半序、增算子与减算子、凹算子和凸算子、锥压缩与锥拉伸不动点定理、多解定理、Hilbert投影距离法。

4.单调映象：单调映象的概念、单调映象的满射性、多值极大单调映象的满射性。

5.变分方法：泛函的极值与梯度、最速下降法、极大极小原理、偶泛函的临界点。

六、教材及主要参考书：

1．郭大钧，非线性泛函分析， 山东科技出版社，2002.

随机过程

Stochastic Processes

课程编号：X25070114

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： Ⅱ

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：概率论与数理统计

四、教学目的：

随机过程是动态地研究随机现象统计规律性的数学学科，其理论和方法在经济金融、管理决策、计算机科学等领域有着广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握随机过程的基本理论、研究方法以及应用技巧,并能应用于解决实践中遇到的随机问题，为后续开展科研工作和解决实际问题打下坚实的基础。

五、教学内容：

1．预备知识：概率、随机变量与分布函数、数字特征、矩母函数与特征函数、条件期望、极限定理；

2．随机过程的基本概念：随机过程的定义、随机过程的数字特征、常用的随机过程;

3．泊松过程：泊松过程定义和性质、非齐次泊松过程、复合泊松过程;

4．更新过程：更新过程的定义和性质、更新定理；

5．马尔可夫链：马尔可夫链的定义、马尔可夫链的状态分类及性质;

6．连续时间的马尔可夫链：连续时间的马尔可夫链的基本概念、柯尔莫哥洛夫方程；

7．鞅：鞅的基本概念、停时定理。

六、教材及主要参考书：

1．钱敏平，龚光鲁．随机过程论[M]．北京：北京大学出版社，2004.

2．张波，商豪．应用随机过程[M]．北京：中国人民大学出版社，2023.

3．刘次华．随机过程[M]．武汉：华中科技大学出版社，2022.

4．何萍．随机过程[M]．上海：上海财经大学出版社，2020.

高等概率论

Advanced Probability Theory

课程编号：X25070115

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学、统计学

三、预修课程：实变函数，概率论与数理统计

四、教学目的：

通过本课程的学习，使得学生理解和掌握高等概率论中的基本概念，主要学习测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue—Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等；独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律；学习特殊的随机过程包括离散鞅、马氏链、布朗运动和高斯自由场。为学习以后的课程打下良好的基础。

五、教学内容：

1.测度与积分：集族与测度、Lebesgue-Stieltjes测度、可测函数及其收敛性、可积函数及积分性质、测度的Jordan-Hahn分解、乘积测度和无穷维乘积空间上的测度。

2.概率论基础和中心极限定理：Borel-Cantelli引理和Kolmogorov零一律、测度的弱收敛和特征函数、中心极限定理和无穷可分分布族、大数定律和kolmogorov重对数律。

3.离散鞅论：鞅的基本概念、鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性、一致可积性与鞅的Lp收敛性。

4.随机过程选讲：随机游动与马氏链、布朗运动、高斯自由场。

六、教材及主要参考书：

1. 胡晓予，高等概率论，科学出版社，2009.

2. 程士宏. 高等概率论, 北京大学出版社，1996.

3. M. H. DeGroot, Probability and Statistics, Second Edition, Addison-Wesley, 1986.

4. 胡迪鹤，高等概率论及其应用，高等教育出版社，2008.