九、课程设置

课程 类别

课程编号

课程名称

学 分

学 时

开课学期

开课单位

备注

1

2

3

4

学 位 课

公 共 课

B25000001

中国马克思主义与当代 (Contemporary Chinese Marxism)

2

32

√

马克思主义学院

必修

B25000002

高级英语写作 (Advanced English Writing)

2

32

√

外国语学院

必修

B25000003

高级英语口语 (Advanced English Speaking)

1

16

√

必修

基础理论课

B25070101

现代分析学( Modern Analysis)

3

48

√

数学与统计学院

至少选一门课

B25070102

高等微分几何(Advanced Differential Geometry)

3

48

√

B25070103

现代代数学(Modern Algebra)

3

48

√

B25070104

随机分析(Stochastic Analysis)

3

48

√

专业主干课

B25070105

计算代数( Computational Algebra)

2

32

√

数学与统计学院

至少选一门课

B25070106

代数拓扑学(Algebraic Topology)

2

32

√

B25070107

微分方程现代数值方法( Modern Numerical Methods for Differential Equations)

2

32

√

B25070108

现代偏微分方程( Modern Partial Differential Equations)

2

32

√

B25070109

高等数理统计(Advanced Mathematical Statistics)

2

32

√

非 学 位 课

方向选修课

B25071101

微分方程与动力系统(Differential Equations and Dynamical Systems)

2

32

√

数学与统计学院

至少选一门课

B25071102

凸几何(Convex Geometry)

2

32

√

B25071103

代数图论(Algebraic Graph Theory)

2

32

√

B25071104

同调代数( Homological Algebra)

2

32

√

B25071105

调和分析与小波分析(Harmonic Analysis and Wavelet Analysis)

2

32

√

B25071106

微分拓扑(Differential Topology)

2

32

√

B25071107

鞅论(Martingale Theory)

2

32

√

B25071124

非线性分析( Nonlinear Analysis)

2

32

√

B25071109

微分流形(Differentiable Manifolds)

2

32

√

B25071110

最优化方法( Optimization Methods)

2

32

√

B25071111

数值代数(Numerical Algebra)

2

32

√

B25071112

组合数学(Combinatorics)

2

32

√

B25071113

有限元方法(Finite Element Methods)

2

32

√

B25071114

非线性时间序列分析(Nonlinear Time Series Analysis)

2

32

√

B25071115

多元统计分析(Multivariate Statistical Analysis)

2

32

√

B25071116

智能计算(Intelligent Computing)

2

32

√

B25071117

计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)

2

32

√

B25071118

线性系统理论(Linear Systems Theory)

2

32

√

B25071119

智能信息处理(Intelligent Information Processing)

2

32

√

B25071120

逼近与学习理论(Approximation and Learning Theory)

2

32

√

B25071121

有限差分方法(Finite Difference Methods)

2

32

√

B25071122

矩阵分析(Matrix Analysis)

2

32

√

B25071123

高等数值分析(Advanced Numerical Analysis)

2

32

√

补修 课程

泛函分析

3

48

√

数学与统计学院

跨学科或同等学力学生补修

代数学

3

48

√

偏微分方程及其理论

3

48

√

学位 论文

B25000021

学位论文开题

1

第3学期进行

B25000022

论文中期检查（研究生作进展报告）

1

第5学期进行

学术 活动

B25000020

学术活动的主要形式包括学术报告、专家讲座，参加学术会议、参加学校或省级研究生论坛报告会、研讨等

2

博士生在读期间参加一定量学术活动，其中2次同行学术报告（每次应有不少于500字的小结），经导师签字后自己留存，申请答辩前交学院主管领导记载成绩。

附1:需阅读的主要经典著作和专业学术期刊目录

主要经典著作：

[1] R. Gilmer. Multiplicative Ideal Theory. New York: Marcel Dekker, 1992.

[2] T. Y. Lam. Serre's Problem on Projective Modules. Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.

[3] D. Cox, J. Little, D. O’Shea. Ideals, Varieties and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer, 2015.

[4] [4] J. D. Dixon, B. Mortimer, Permutation Group, third edition, New York: Springer-Verlag, 1996

[5] N. Biggs，Algebraic Graph Theory, 2ed edition, Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

[6] Wang Z. X. Designs Theory, Beijing: Higher Education Press, 2009.

[7] R. Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, second expanded edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2014.

[8] Loukas Grafakos，Classical Fourier Analysis, third edition, Springer , 2014.

[9] Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri. Numerical Mathematics, 2007.

[10] Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 2013

[11] Philippe G. Ciarlet. Finite Element Methods for Elliptic Problems, 2002

[12] Gilbert Strang.Computational Science and Engineering,2007

[13] 张芷芬, 微分方程定性理论,科学出版社,1997.

[14] Michael Brin, Garrett Stuck, Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press ,2002

[15] 郭宝珠,柴树根,无穷维线性系统控制理论,科学出版社,2020

[16] Michael Struwe, Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential，Springer，2008

[17] 廖晓昕, 稳定性的理论、方法和应用, 华中科技大学出版社, 2010

主要专业学术期刊：

[1] Journal of Algebra、

[2] Advances in Mathematics、

[3] Communications in Algebra、

[4] Journal of Symbolic Computation

[5] Linear & Multilinear Algebra

[6] Multidimensional Systems and Signal Processing

[7] Journal of Differential Geometry、

[8] Journal of Fourier Analysis and Applications

[9] Journal of Combinatorial Theory Series B

[10] European Journal of Combinatorics

[11] Designs Codes and Cryptography

[12] Discrete Mathematics

[13] SIAM Journal on Scientific Computing

[14] Journal of Computational Physics

[15] Numerische Mathematik

[16] Mathematics of Computation

[17] Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering

[18] BIT Numerical Mathematics

[19] ACM Transactions on Mathematical Software

[20] Journal of Differential Equations

[21] SIAM Journal of Control and Optimization

[22] Calculus of Variations and Partial Differential Equations

[23] Analysis & PDE

[24] Automatica

[25] Journal of Functional Analysis

附2:学位课程教学大纲

现代分析学

Modern Analysis

课程编号：B25070101

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： I

授课方式： 课堂教学与研讨 考核方式：考试（开卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：偏微分方程、泛函分析、数学物理方程

四、教学目的：

本课程包含基本的理论与方法，以偏微分方程、微分几何和数学物理中的实际问题为应用，旨在让学生掌握处理非线性问题的理论、方法和技巧，为后续专业研究提供必要的准备。

五、教学内容：

1．线性化

Banach空间微分学、隐函数定理、Lyapunov-Schmidt方法

2. 不动点理论

序方法、凸性与紧性、单调算子

3. 拓扑方法

度理论、分歧理论、集值映射

4. 最大最小原理与变分

对偶理论，指标与筹数，变号临界点理论

六、教材及主要参考书：

1. 张恭庆：非线性分析方法 高等教育出版社，2020

2. 陈予恕，非线性动力学中的现代分析方法科学出版社出版，1992

3. Pavel Drábek,Jaroslav Milota，Methods of Nonlinear Analysis，Birkhäuser Basel，2007

4. Zeidler, Eberhard, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer Science+Business Media, LLC, 1988

高等微分几何

Advanced Differential Geometry

课程编号：B25070102

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： I

授课方式：研讨 考核方式：考试（开卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：数学分析、泛函分析

四、教学目的：

掌握现代微分几何的核心理论与方法，包括微分流形、张量场、外微分、联络、黎曼流形、李群与活动标架法、复流形、Finsler几何等，理解几何结构与拓扑、分析、物理的交叉应用（如广义相对论、规范场论），培养独立研究能力，能阅读前沿文献并开展相关课题研究。

五、教学内容：

1. 微分流形的定义、切空间、子流形、Frobenius定理

2. 张量积、张量、外代数

3. 张量丛、外微分、外微分式的积分、Stokes公式

4. 矢量丛上的联络、仿射联络、标架丛上的联络

5. 黎曼几何的基本定理、测地线坐标、截面曲率、Gauss-Bonnet定理

6. 李群、李氏变换群、活动标架法、曲面论

7. 复流形、矢量空间上的复结构、近复流形、复矢量丛上的联络

8. Chern联络、结构方程和旗曲率、弧长的变分公式

六、教材及主要参考书：

1教材

（1）S.S. Chen, W.H. Chen, Lectures on Differential Geometry, World Scientific, 2020.

2 主要参考书

（1）陈维桓编，《微分几何初步》，北京大学出版社，2006年。

（2）沈一兵编，《整体微分几何初步》，高等教育出版社，2009年。

（3）梅向明 黄敬之编，《微分几何》，出版社：高等教育出版社，2008年。

现代代数学

Modern Algebra

课程编号：B25070103

一、计划总学时： 48 （其中实验 0 学时） 学分： 3 开课学期： Ⅰ

授课方式：研讨 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：高等代数、抽象代数

四、教学目的：

掌握现代代数学核心理论与方法，包括群、环、域、模、同调代数等，强调现代代数学与其他数学分支（如代数几何、代数拓扑、数论等）以及相关学科（如物理学、计算机科学等）的交叉与融合，能够运用代数方法解决复杂的数学问题，培养独立研究能力，能阅读前沿文献并开展相关课题研究。

五、教学内容：

1. 群的定义、子群、群同态基本定理

2. 陪集与拉格朗日定理、有限群的结构

3. 理想与商环、唯一分解整环、环的同态与同构

4. 除环与域、域的扩张、Galois理论基础、Galois群

5. 自由模、投射模与**模、模的分解定理、张量积的性质

6. 理想的准素分解、Hilbert基定理、诺特环的结构

7. 链映射与同调群的诱导同态、正合序列、谱序列

8. 有限群的表示理论、Zorn引理、笛卡尔积、路代数与箭图表示

六、教材及主要参考书：

1教材

（1）D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract Algebra, 3rd Edition, John Wiley & Sons, 2003.

2 主要参考书

（1）张禾瑞编，《近世代数》，高等教育出版社，2010年。

（2）冯克勤编，《交换代数基础》，高等教育出版社，1988年。

（3）韩士安 林磊编，《近世代数》，科学出版社，2004年。

随机分析

Stochastic Analysis

课程编号：B25070109

一、计划总学时： 48学时 学分： 3 开课学期： I

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学、统计学、金融工程、计算机科学等博士研究生。

三、预修课程：概率论、测度论、实分析

四、教学目的：

掌握现代随机分析的核心理论与工具（如随机积分、随机微分方程、Malliavin微

积分等）。理解随机过程在数学金融、统计物理、生物数学等领域的应用。培养独立研究能力，为学术论文或交叉学科课题提供方法论支持。

五、教学内容：

1．概率论回顾与高阶工具：条件期望、鞅论进阶（一致可积性、收敛定理）、停时理论与最优停止问题、大偏差原理（Large Deviations）、布朗运动与随机积分、布朗运动的路径性质（Lévy刻画、二次变差）、Itô积分与Stratonovich积分的构造与比较、局部鞅与半鞅的分解定理、随机微分方程（SDEs）、强解与弱解的存在唯一性（Lipschitz条件、Yamada-Watanabe定理）、扩散过程与生成元（Infinitesimal Generator）、稳定性与遍历性理论、Malliavin微积分、随机变量的微分与积分、Malliavin协方差矩阵与正则性分析；

2.前沿专题选讲：倒向随机微分方程（BSDEs）、非线性Feynman-Kac公式、在数理金融中的应用（期权定价、风险度量）、随机偏微分方程（SPDEs）、白噪声驱动的线性/非线性方程（如随机热方程）、正则结构理论与Hölder连续性、随机控制与最优停时、动态规划原理（Hamilton-Jacobi-Bellman方程）、应用：量化投资、机器人路径规划、机几何与流形上的随机分析、流形上的布朗运动（Eells-Elworthy-Malliavin构造）、随机并行传输（Stochastic Parallel Transport）、非经典随机过程、分数布朗运动（Fractional Brownian Motion）、Lévy过程与跳跃扩散模型；

3.应用与交叉学科：数理金融、资产定价模型（Heston模型、局部波动率模型）、风险中性测度与市场完备性、统计物理与生物数学、随机动力系统（随机共振、相变）、种群动力学中的随机模型、机器学习中的随机方法、随机梯度下降（SGD）的理论分析、扩散模型（Diffusion Models）的数学基础.

六、教材及主要参考书：

[1] 黄志远.随机分析学基础[M].科学出版社,2001.

[2] 林正炎,陆传荣,苏中根.概率极限理论基础[M].高等教育出版社,1999.

[3] 史蒂芬·E.施里夫.金融随机分析[M].上海财经大学出版社,2008.

计算代数

Computational Algebra

课程编号：B25070105

一、计划总学时： 32 （其中实验 0 学时） 学分： 2 开课学期： II

授课方式：研讨 考核方式：考试（开卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：抽象代数、交换代数

四、教学目的：

掌握计算代数核心理论，包括多项式环、理想、Groebner基与多项式分解算法等内容，理解计算代数与微分几何、密码学等学科的交叉融合与相互促进关系，能够运用计算代数算法解决实际工程与科研中的复杂问题，培养创新实践能力，能研读前沿文献并开展相关课题探索。

五、教学内容：

1. 群序关系、单项式的序与理想、多项式约化

2. Groebner基的基本性质、Buchberger算法、Hilbert基定理、标准表示

3. 仿射族、消元理想、隐参量问题、扩张定理

4. Hilbert零点定理、根理想、理想的商、仿射簇的分解

5. 结式与子结式、Habicht定理、子结式链定理

6. 合冲模、模的Groebner基、同态像与模方法

7. 三角列与特征列、多项式组的零点分解、吴-Ritt算法

8. 量词消去法、多项式实根隔离算法、柱形代数分解

六、教材及主要参考书：

1教材

（1）何青编，《计算代数基础》，北京师范大学出版社，1997年。

2 主要参考书

（1）王东明 夏壁灿 李子明编，《计算机代数》，清华大学出版社，2007年。

（2）刘木兰编，《Groebner基理论及其应用》，科学出版社，2000年。

（3）周梦编，《计算代数与应用》，武汉大学出版社，2002年。

代数拓扑学

Algebraic Topology

课程编号：B25070106

一、计划总学时： 32 （其中实验 0 学时） 学分： 2 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试(闭卷)

二、适用专业：数学

三、预修课程：拓扑学基础，抽象代数

四、教学目的：

使学生深入理解和掌握代数拓扑的基本概念、理论和方法。培养学生运用代数工具研究拓扑空间性质的能力。提升学生的抽象思维能力和问题解决能力，为进一步的数学研究和应用打下坚实基础。让学生了解代数拓扑在其他领域（如物理学、计算机科学等）中的应用。

三、预修课程：拓扑学基础，抽象代数

四、教学目的：

通过本课程的学习，熟练掌握偏微分方程数值求解的各类方法、基本数值理论和分析技术，并能创新性地应用所学方法处理科学与工程计算中实际问题和前沿科学问题。通过本课程的学习，要求学生对各类偏微分方程及其边界的数值处理有一个全面系统的掌握，了解偏微分方程数值解法的一些最新应用及进展，同时能够实现大规模计算问题的程序设计和软件实现。

五、教学内容：

第1部分：基础概念与工具（8学时）‌

‌拓扑空间与同胚：拓扑空间的定义与性质、同胚的概念与判定、常见拓扑空间举例

‌基本群：路径与基点、路径同伦、基本群的定义与性质、基本群的计算与应用、

‌第2部分：同调论基础（12学时）‌

‌同调群的基本概念：同调群的定义与计算方法、链复形与同调序列

‌低维同调群：零维、一维同调群的计算与几何解释、二维同调群与曲面的分类

‌同调群的性质与应用：同调群的线性结构与生成元、通过同调群理解空间的连通性和孔洞

‌第3部分：上同调与对偶性（6学时）‌

‌上同调群：上同调群的定义与性质、上同调与同调的关系

‌Poincaré对偶性：Poincaré对偶性的定义与应用、利用对偶性计算空间的上同调

‌第4部分：高级主题与应用（6学时）‌

‌高维同调群与同伦群：高维同调群的计算与应用、同伦群的定义与性质

‌代数拓扑的应用：代数拓扑在物理学（如量子场论）中的应用、拓扑数据分析（TDA）的基本概念与方法、代数拓扑在计算机科学中的应用举例

六、教材及主要参考书：

1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

2. Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Second Edition, Springer, 1980.

3. James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley Publishing Company, 1984.

微分方程现代数值方法

Modern Numerical Methods for Differential Equations

课程编号：B25070107

一、计划总学时： 32 （其中实验 0 学时） 学分： 2 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试(开卷)

二、适用专业：数学

三、预修课程：数值分析、常微分方程、偏微分方程

四、教学目的：

通过本课程的学习，熟练掌握偏微分方程数值求解的各类方法、基本数值理论和分析技术，并能创新性地应用所学方法处理科学与工程计算中实际问题和前沿科学问题。通过本课程的学习，要求学生对各类偏微分方程及其边界的数值处理有一个全面系统的掌握，了解偏微分方程数值解法的一些最新应用及进展，同时能够实现大规模计算问题的程序设计和软件实现。

五、教学内容：

1. 常微分方程的初、边值问题数值解法，及有关理论。

2. 有限元法

变分原理、几何剖分与分片插值、Sobolev空间初步、Lax-Milgram 定理、非协调有限元、自适应有限元。

3. 边界元方法

经典边界归化、自然边界归化、边界积分方程的数值解法、有限元边界元耦合法、无穷远边界条件的近似、区域分解算法.

3. 基于物理信息神经网络的微分方程数值求解方法。

六、教材及主要参考书：

1．余德浩,汤华中, 微分方程数值解法(第二版), 科学出版社，2024.

2. 孙志忠，偏微分方程数值解法 (第三版)，科学出版社，2024.

3. 陈艳萍,鲁祖亮，刘利斌，偏微分方程数值解法，科学出版社，2024.

现代偏微分方程

Modern Partial Differential Equations

课程编号：B25070108

一、计划总学时： 32 （其中实验 0 学时） 学分： 2 开课学期： II

授课方式：课堂教学 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学

三、预修课程：非线性分析

四、教学目的：

本课程主要向学生介绍非线性偏微分方程的基本理论和方法。通过本课程的学习使学生了解和掌握一些主要的非线性方法，如变分法与临界点理论、不动点理论与梯度流、完全非线性方程的黏性解、非线性双曲守恒律与非线性波动方程等。并且能使用非线性偏微分方程的理论知识和方法解决实际科学问题和工程问题。

五、教学内容：

1．变分法：变分法基本思想，最小的存在性，正则性，约束，临界点，不变量，Noether定理。

2．非变分技术：单调方法，不动点方法，上、下解方法，解的不存在性，解的几何性质，梯度流。

3．Hamilton-Jacobi方程：黏性解，唯一性，控制理论，动态规划。

4．守恒律组：积分解，行波，Riemann问题，两个守恒律的方程组，熵判据。

5．非线性波动方程：能量守恒，有限传播速度，解的存在性，半线性波动方程，临界指数非线性，解的不存在性。

六、教材及主要参考书：

1．Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Second Edition, American Mathematical Society, 2010.

2. 郭玉翠，非线性偏微分方程引论，清华大学出版社，北京，2008.

高等数理统计

Advanced Mathematical Statistics

课程编号：B25070109

一、计划总学时： 32学时 学分： 2 开课学期： II

授课方式：课堂教学与研讨 考核方式：考试（闭卷）

二、适用专业：数学、统计学、金融工程、计算机科学等博士研究生。

三、预修课程：概率论、随机过程、测度论

四、教学目的：

掌握现代概率论与统计学的核心理论框架及前沿方法。培养独立解决复杂概率统计问题的能力，包括理论证明与模型构建。为后续博士课题研究（如高维统计、随机分析、机器学习理论等）提供数学工具。

五、教学内容：

1．高等概率论：测度论进阶、 条件期望的Radon-Nikodym定理、 乘积测度与Fubini定理、 概率测度的紧性与Prokhorov定理、 极限理论 、大偏差原理（Cramér定理、Varadhan引理）、 依分布收敛的Skorokhod表示定理、 稳定收敛与Stein方法、 随机过程专题 、鞅论及其应用（Doob不等式、鞅收敛定理）、布朗运动与Itô积分初步 、马氏过程与生成元理论；

2. 高等统计推断：参数估计理论、 渐近有效性（局部渐近正态性LAN）、 半参数模型与有效影响函数、 M估计与Z估计的渐近理论 、非参数与高维统计、 核密度估计的极小化速率 、高维回归与稀疏性（Lasso理论）、 随机矩阵的渐近谱理论、 贝叶斯统计进阶、 非参数贝叶斯（Dirichlet过程、高斯过程先验） 、后验分布的收敛速率；

3.前沿专题研讨： 深度学习中的概率理论、 随机图与网络模型 、交互粒子系统与平均场理论、 因果推断的数学框架。

六、教材及主要参考书：

1. 茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].高等教育出版社,2006.

2. 钱敏平,龚光鲁.随机过程论(第二版)[M].北京大学出版社,1997.

3. 林正炎,陆传荣,苏中根.概率极限理论基础[M].高等教育出版社,1999.

4. 毛学荣. 随机微分方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.

5. Billingsley, P.. Probability and measure (Anniversary ed. ),Wiley. 2012.

6. Dudley, R. M. . Real analysis and probability. Cambridge University Press.2002.

7. Durrett, R. . Probability: Theory and examples (5th ed.). Cambridge University Press.2019.